الفصل 11: العلاقات القياسية في المثلث القائم
ملخّص: نظرية بيتاغور وتطبيقاتها
الأساسيّ
- في المثلّث القائم، الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول الأضلاع.
- نظرية بيتاغور: مربّع الوتر يساوي مجموع مربّعي الضلعين القائمين.
- تُطبَّق فقط في مثلّث قائم، بعد تحديد الوتر.
- تُستعمل لحساب الوتر، أو ضلع قائم، أو قطر مربّع ومستطيل، أو ارتفاع مثلّث متقايس الأضلاع.
القواعد والصيغ
نظرية بيتاغور
إذا كان ABC قائمًا في A فإنّ BC² = AB² + AC²؛ ولضلع قائم: AB² = BC² − AC².
تطبيقات
قطر مربّع ضلعه a: a√2؛ قطر مستطيل: √(L² + l²)؛ ارتفاع مثلّث متقايس الأضلاع: a√3/2.
ثلاثيات بيتاغورية
(3 ; 4 ; 5)، (5 ; 12 ; 13)، (6 ; 8 ; 10)، (8 ; 15 ; 17).
الطريقة
- أبرّر أنّ المثلّث قائم وأحدّد الوتر.
- أكتب المساواة ثمّ أعوّض بالأطوال المعلومة.
- أحسب المربّع ثمّ آخذ الجذر التربيعي (طول موجب).
مثال
سلّم طوله 5 م وأسفله على بعد 3 م من الحائط: h² = 5² − 3² = 16، إذن h = 4 م.
ارتفاع مثلّث متقايس الأضلاع ضلعه 6: h² = 6² − 3² = 27، h = 3√3 ≈ 5,2.
ارتفاع مثلّث متقايس الأضلاع ضلعه 6: h² = 6² − 3² = 27، h = 3√3 ≈ 5,2.
أخطاء شائعة
- كتابة BC = AB + AC: نجمع المربّعات لا الأطوال.
- اختيار الوتر خطأً: هو المقابل للزاوية القائمة.
- نسيان الجذر في الأخير: BC² = 25 إذن BC = 5.
مصطلحات الدرس
ملخّص من إعداد سكولار لمراجعة الدرس بسرعة، ولا يغني عن قراءة الدرس وإنجاز تمارينه.